「网络流24题」最小路径覆盖问题-题解

题目传送门: 「Luogu P2764」最小路径覆盖问题

题目大意

题目描述给的很直白,输入点数边数和有向边,输出最少路径数和路径

题解

正常建图
如果一条路径的终点和另一条路径的起点有连边，那么这两条路径是可以合并的。
但是一个终点或起点只能使用一次。比如三条路径$1 \rightarrow 3, 2 \rightarrow 3, 3 \rightarrow 4$，你只能合并两条。
那么这道题就转化为了：最大化一个边集，使得边集中每个起点和终点都只使用过一次。即__最大独立边集__。
把每个点拆成入点$x$和出点$x’$,从源点到$x’$连一条容量为$1$的边，从$x$到汇点连一条容量为$1$的边。边权用来限制每个起点或终点的使用次数。
对于每条边$x \rightarrow y$，连接$x’ \rightarrow y$
答案是$n-最大流$

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 1010;
const int inf  = 0x3f3f3f3f;

bool vis[maxn], vst[maxn];
int n, m, s, t;
int d[maxn], cur[maxn], to[maxn];

struct Edge {
    int from, to, cap, flow;
    Edge(int u, int v, int c, int f) : from(u), to(v), cap(c), flow(f) {}
};

vector<Edge> edges;
vector<int> G[maxn];

void add(int u, int v, int c) {
    edges.push_back(Edge(u, v, c, 0));
    edges.push_back(Edge(v, u, 0, 0));
    int mm = edges.size();
    G[u].push_back(mm - 2);
    G[v].push_back(mm - 1);
}

bool bfs() {
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    queue<int> Q;
    Q.push(s);
    d[s] = 0;
    vis[s] = true;
    while (!Q.empty()) {
        int x = Q.front(); Q.pop();
        for (int i = 0; i < G[x].size(); ++i) {
            Edge& e = edges[G[x][i]];
            if (!vis[e.to] && e.cap > e.flow) {
                vis[e.to] = true;
                d[e.to] = d[x] + 1;
                Q.push(e.to);
            }
        }
    }
    return vis[t];
}

int dfs(int x, int a) {
    if (x == t || a == 0) return a;
    int flow = 0, f;
    for (int& i = cur[x]; i < G[x].size(); ++i) {
        Edge& e = edges[G[x][i]];
        if (d[x] + 1 == d[e.to] && (f = dfs(e.to, min(a, e.cap - e.flow))) > 0) {
            to[x] = e.to;
            e.flow += f;
            edges[G[x][i] ^ 1].flow -= f;
            flow += f;
            a -= f;
            if (a == 0) break;
        }
    }
    return flow;
}

int maxflow(int s, int t) {
    int flow = 0;
    while (bfs()) {
        memset(cur, 0, sizeof(cur));
        flow += dfs(s, inf);
    }
    return flow;
}

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m);
    s = 0; t = 2 * n + 1;
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        int u, v;
        scanf("%d %d", &u, &v);
        add(u, v + n, 1);
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) add(s, i, 1);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) add(i + n, t, 1);
    int ans = maxflow(s, t);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (!vst[i]) {
            int x = i; vst[x] = true;
            printf("%d ", x);
            while (to[x] && to[x] != t) {
                x = to[x] - n;
                printf("%d ", x);
                vst[x] = true;
            }
            printf("\n");
        }
    }
    printf("%d\n", n - ans);
    return 0;
}